Question

扇形AOB的中心角为2θ，半径为r，在扇形AOB中作内切圆O₁及与圆O₁外切，与OA，OB相切的圆O₂，问sinθ为何值时，圆O₂的面积最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：运用圆与圆的位置关系和圆的面积公式进行求解．

解答：解：设圆O₁及与圆O₂的半径分别为r₁，r₂，
则

(r-r1)sinθ=r1 (r1+r2)cos( π 2 -θ)=r1-r2

，得

r1= rsinθ 1+sinθ r2= r1(1-sinθ) 1+sinθ

，
∴r2=

r1(1-sinθ)

1+sinθ

=

rsinθ(1-sinθ)

(1+sinθ)2

，
∵0＜2θ＜2π，∴0＜θ＜π，令t=sinθ+1（1＜t＜2），
r2=

-t2+3t-2

t2

=-2(

1

t

-

3

4

)2+

1

8

，当

1

t

=

3

4

，即sinθ=

1

3

时，
圆O₂的半径最大，圆O₂的面积最大，最大面积为

π

64

．

点评：正确掌握圆与圆的位置关系是准确解题的关键．