【答案】
分析:(I)根据b
k为a
1,a
2…a
k中的最大值,称数列{b
n}为{a
n}的“创新数列”,可得数列3,4,1,5,2与数列3,4,2,5,1的“创新数列”为3,4,4,5,5;
(II)设数列{c
n}的创新数列为{e
n}(n=1,2,3…,m),{e
n}为等差数列,设其公差为d,讨论d=0,d=1,以及当d=2时,因为e
m=e
1+(m-1)d=2m-2+e
1,又m>3,e
1>0,所以e
m>m,这与e
m=m矛盾,所以此时{e
n}不存在,即不存在{c
n}使得它的创新数列为d=2的等差数列,从而得到结论;
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,e
m=m,由题意,得e
1=c
1,所以当数列{c
n}的创新阶数为2时,{e
n}必然为c
1,c
1,…c
1,m,m…m(其中c
1<m)由排列组合知识,得创新数列为k,k,…,k,m,m…,m的符合条件的{c
n}的个数,在创新阶数为2的所有数列{c
n}中,它们的首项的和为
=(m-1)!
.
解答:(Ⅰ)解:由题意,创新数列为3,4,4,5,5的数列{c
n}有两个,即:
(1)数列3,4,1,5,2;---------------------------(2分)
(2)数列3,4,2,5,1.---------------------------(3分)
注:写出一个得(2分),两个写全得(3分).
(Ⅱ)答:存在数列{c
n},它的创新数列为等差数列.
解:设数列{c
n}的创新数列为{e
n}(n=1,2,3…,m),
因为e
m为c
1,c
2,…c
m中的最大值.
所以e
m=m.
由题意知:e
k为c
1,c
2,…c
k中最大值,e
k+1为c
1,c
2,…c
k+1中最大值,
若{e
n}为等差数列,设其公差为d,则d,e
k+1,e
k,0,-----------(5分)
当d=0时,{e
n}为常数列,又e
m=m,
所以数列{e
n}为m,m,m,…,m,此时数列{c
n}是首项为m的任意一个符合条件的数列;
当d=1时,因为e
m=m,
所以数列{e
n}为1,2,3…,m,此时数列{c
n}是1,2,3…,m;-----------(7分)
当d=2时,因为e
m=e
1+(m-1)d=2m-2+e
1,
又m>3,e
1>0,所以e
m>m,
这与e
m=m矛盾,所以此时{e
n}不存在,即不存在{c
n}使得它的创新数列为d=2的等差数列.
综上,当数列{c
n}为:(1)首项为m的任意符合条件的数列;
(2)数列1,2,3…,m时,它的创新数列为等差数列.---------------------------(9分)
注:此问仅写出结论(1)(2)者得(2分).
(Ⅲ)解:设{c
n}的创新数列为{e
n}(n=1,2,3…,m),
由(Ⅱ)知,e
m=m,
由题意,得e
1=c
1,
所以当数列{c
n}的创新阶数为2时,{e
n}必然为c
1,c
1,…c
1,m,m…m(其中c
1<m),---------------------(10分)
由排列组合知识,得创新数列为k,k,…,k,m,m…,m的符合条件的{c
n}的个数为
C
m-1m-kA
m-k-1m-k-1A
k-1k-1=
=
,----------------(12分)
所以,在创新阶数为2的所有数列{c
n}中,它们的首项的和为
=(m-1)!
.---------------------------(14分)
点评:本题主要考查了创新数列的定义,以及分类讨论的思想和排列组合等知识,对于学生有很大的难度,属于难题.