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设m>3,对于有穷数列{an}(n=1,2,…,m),令bk为a1,a2,…ak中的最大值,称数列{bn}(为{an}的“创新数列”.数列{bn}(中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.考察自然数 1,2…m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{cn}.
(1)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn};
(2)是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数{cn},若不存在,请说明理由.
【答案】分析:根据令bk为a1,a2,…ak中的最大值,称数列{bn}为{an}的“创新数列”,
(1)创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{Cn},可知其首项是3,第二项是4,第三项是1或2,第四项是5,第五项是2或1,可写出{Cn};
(2)假设存在数列{Cn},使它的创新数列为等差数列,根据创新数列的定义和等差数列的定义,分类讨论可求得{Cn}.
解答:解:(1)由题意,创新数列为3,4,4,5,5的数列{cn}有两个,即:
①数列3,4,1,5,2;
②数列3,4,2,5,1.
(2)假设存在数列{cn},它的创新数列为等差数列.
设数列{Cn}的创新数列为{en}(n=1,2,…m),
因为em为,c1,c2…cm中的最大值.
所以em=m.由题意知:ek为c1,c2,…ck中最大值,
ek+1为c1,c2,…,ek,ek+1中最大值,
所以ek≤ek+1,且ek∈{,2,…,m}.
若{en}为等差数列,设其公差为d,
则d=ek+1-ek≥0,且d∈N,
当d=0时,{en}为常数列,又em=m,
所以数列{en}为m,m,…,m,
此时数列{cn}是首项为m的任意一个符合条件的数列;
当d=1时,因为em=m,所以数列{en}为1,2,3,…,m,
此时数列{cn}是1,2,3,…,m;
当d≥2时,因为em=e1+(m-1)d≥e1+(m-1)×2=2m-2+e1
又m>3,e1>0,所以em>m,这与em=m矛盾,所以此时{en}不存在,
即不存在{cn}使得它的创新数列为d≥2的等差数列.
综上,当数列{cn}为:1°首项为m的任意符合条件的数列;
2°数列1,2,3,…,m时,它的创新数列为等差数列.
点评:考查学生理解数列概念,灵活运用数列表示法的能力,旨在考查学生的观察分析和归纳能力,特别是问题(2)的设置,增加了题目的难度,同时也考查了等差数列的定义和分类讨论的思想,属难题.
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21、设m>3,对于有穷数列{an}(n=1,2,…,m)),令bk为a1,a2,…ak中的最大值,称数列{bn}为{an}的“创新数列”.数列{bn}中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.考察自然数1,2,…m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{Cn}.
(1)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{Cn};
(2)是否存在数列{Cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数{Cn},若不存在,请说明理由.

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(1)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn};
(2)是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数{cn},若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

设m>3,对于有穷数列{an}(n=1,2,3…,m),令bk为a1,a2…ak中的最大值,称数列{bn}为{an}的“创新数列”.数{bn}中不相等项的个数称为{an}的“创新阶数”.例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7,创新阶数为3.
考察自然数1,2…m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{cn}.
(Ⅰ)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn};
(Ⅱ) 是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列{cn},若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)在创新阶数为2的所有数列{cn}中,求它们的首项的和.

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科目:高中数学 来源:2009年北京市西城区高考数学一模试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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考察自然数1,2…m(m>3)的所有排列,将每种排列都视为一个有穷数列{cn}.
(Ⅰ)若m=5,写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{cn};
(Ⅱ) 是否存在数列{cn},使它的创新数列为等差数列?若存在,求出所有的数列{cn},若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)在创新阶数为2的所有数列{cn}中,求它们的首项的和.

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