Question

已知数列{a_n}（n∈N^*）是首项a₁=1，公差d＞0的等差数列，且2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列，数列{a_n}前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求f（n）=

Sn	(n+32)Sn+1

的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式将各项用公差表示，据已知列出方程，解方程求出d，求出通项公式．
（2）利用等差数列的前n项和求出S_n，代入f（n），将f（n）化简，利用基本不等式求出f（n）的最大值．

解答：解：（1）依题意可得2a₂=2（1+d），a₁₀=1+9d，5a₅=5（1+4d）
∵2a₂，a₁₀，5a₅成等比数列，则有（1+9d）²=10（1+d）（1+4d）又d＞0
解得d=1
又首项a₁=1
所以a_n=n
（2）Sn=

1

2

n(n+1)
于是f(n)=

n

(n+32)(n+2)

=

n

n2+34n+64

=

1

n+ 64 n +34

≤

1

50

当且仅当n=

64

n

即n=8时f（n）取得最大值0.02

点评：解决等差数列、等比数列两个特殊数列的问题时，常采用基本量法；利用基本不等式求函数的最值时注意判断等号何时取得．