Question

已知数列{a_n}前n项和S_n=n²+2n，设b_n=

1

anan+1

（1）试求a_n；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）当n=1时，可得a₁=S₁=3，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n+1，验证可得通项；（2）由（1）可得b_n=

1

anan+1

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

），裂项相消可得所求．

解答：解：（1）当n=1时，可得a₁=S₁=3
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1
=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
经验证，n=1时，上式也适合，
故a_n=2n+1；
（2）由（1）可知a_n=2n+1，
故b_n=

1

anan+1

=

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

2

（

1

2n+1

-

1

2n+3

）
故数列{b_n}的前n项和：
T_n=

1

2

[（

1

3

-

1

5

）+（

1

5

-

1

7

）+…+（

1

2n+1

-

1

2n+3

）]
=

1

2

（

1

3

-

1

2n+3

）=

n

6n+9

点评：本题考查由S_n求a_n的方法，以及裂项相消法求数列的和，属中档题．