Question

已知数列{a_n}前n项和S_n和通项a_n满足Sn=-

1

2

(an-1)
（1）求数列{a_n}的通项公式； 
（2）试证明Sn＜

1

2

；
（3）设函数f(x)=log

1

3

x，b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求

1

b1

+

1

b2

+…+

1

b99

的值．

Answer 1

分析：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答时：
（1）充分利用数列通项与前n项和之间的关系，分n=1和n＞1分别推导并注意能合并的合并，即可获得问题的解答；
（2）结合数列{a_n}通项的特点即可判断数列为等比数列，利用等比数列的前n项和公式即可获得n项的表达式，再利用放缩法即可获得问题的解答；
（3）结合函数解析式和数列的通项公式即可获得数列{b_n}的通项公式bn=

n(n+1)

2

，n∈N*，再利用裂项法即可获得问题的解答．

解答：解：（1）n=1，a1=-

1

2

(a1-1)
∴a1=

1

3

n≥2时，an=Sn-Sn-1=-

1

2

(an-1)+

1

2

(an-1-1)
∴an=

1

3

an-1
∴an=(

1

3

)n
∴an=(

1

3

)n(n∈N*)．
（2）Sn=

1

3

+(

1

3

)2++(

1

3

)n=

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=

1

2

(1-

1

3n

)＜

1

2

，
∴Sn＜

1

2

．
（3）∵f(x)=log

1

3

x
∴f(an)=log

1

3

(

1

3

)n=n，
b_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n）=1+2++n=

n(n+1)

2

，
∴

1

b1

+

1

b2

++

1

b99

=

2

1•2

+

2

2•3

++

2

99•100

=2(1-

1

100

)=

198

100

=1.98．

点评：本题考查的是数列与不等式的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了数列通项与前n项和之间的关系、放缩法以及裂项法．值得同学们体会和反思．