Question

(本小题满分12分)
己知三棱柱，在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，，，又知

(1)求证：平面；
(2)求点C到平面的距离；
(3)求二面角余弦值的大小．

Answer 1

（1）略（2）（3）

解法一
（1）得，因为底，所以，
，所以面，所以   ……3分
因为，，所以底 ……1分

（2）由（1）得，所以是菱形，……1分
所以，，……1分
由，得  ……2分
（3）设，作于，连，由（1）所以，所以为二面角平面角，……2分
在中，所以，所以二面角余弦   ……2分
解法二

（1）如图，取的中点，则，因为，所以，又平面，以为轴建立空间坐标系，则，，，，，      ……1分
，，，    ……1分
由，知，             ……1分
又，从而平面；    ……1分
（2）由，得    ……1分
设平面的法向量为，，，所以
，设，则    ……2分
所以点到平面的距离    ……1分
（3）再设平面的法向量为，，，……1分
所以，设，则，              ……2分
故，根据法向量的方向可知二面角的余弦值大小为  ……1分