Question

2．已知直线l与椭圆$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）相切于直角坐标系的第一象限的点P（x₀，y₀），且直线l与x、y轴分别相交于点A、B，当△AOB（O为坐标原点）的面积最小时，∠F₁PF₂=60°（F₁、F₂是椭圆的两个焦点），若此时∠F₁PF₂的内角平分线长度为$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a，则实数m的值是（　　）

• A． $\frac{5}{2}$
• B． $\frac{7}{3}$
• C． $\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由题意，切线方程为$\frac{{y}_{0}y}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}x}{{b}^{2}}$=1，利用基本不等式，结合△AOB（O为坐标原点）的面积最小，可得切点坐标，利用三角形的面积公式，建立方程，即可求出实数m的值．

解答 解：由题意，切线方程为$\frac{{y}_{0}y}{{a}^{2}}+\frac{{x}_{0}x}{{b}^{2}}$=1，
∵直线l与x、y轴分别相交于点A、B，
∴A（$\frac{{b}^{2}}{{x}_{0}}$，0），B（0，$\frac{{a}^{2}}{{y}_{0}}$），
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}•\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{x}_{0}{y}_{0}}$，
∵$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{b}^{2}}$=1≥$\frac{{2x}_{0}{y}_{0}}{ab}$，
∴$\frac{1}{{x}_{0}{y}_{0}}$≥$\frac{2}{ab}$，
∴S_△AOB≥ab，当且仅当$\frac{{y}_{0}}{a}$=$\frac{{x}_{0}}{b}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△AOB（O为坐标原点）的面积最小，
设|PF₁|=x，|PF₂|=y，由余弦定理可得4c²=x²+y²-xy，∴xy=$\frac{4}{3}$b²，
∴${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}xysin60°$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}×2c×{y}_{0}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴y₀=$\frac{\sqrt{3}{b}^{2}}{3c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$b，
∴a=$\frac{\sqrt{15}}{3}$b
∵∠F₁PF₂的内角平分线长度为$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a，
∴$\frac{1}{2}$×x×$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$×y×$\frac{{\sqrt{3}}}{m}$a×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2m}$（x+y）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}a}{2m}$×2a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$b²，
∴m=$\frac{5}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查三角形面积的计算，考查直线与椭圆是位置关系，考查余弦定理的运用，难度大．