Question

16．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2a_n-2ⁿ+1（n∈N^*），则其通项公式a_n=n•2^n-1．

Answer 1

分析 当n=1时，可求得a₁=1；当n≥2时，利用a_n=S_n-S_n-1可得$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，从而可判定数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，可求得a_n．

解答 解：①当n=1时，a₁=2a₁-2+1，则a₁=1；
②当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-2^n-1+1，S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ+1）-（2a_n-1-2^n-1+1）=2a_n-2a_n-1-2^n-1=a_n，
即a_n-2a_n-1=2^n-1，
变形为：$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
故数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列，
所以，$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{n}{2}$，
所以a_n=n•2^n-1，
故答案为：n•2^n-1．

点评 本题考查数列递推式的应用，确定出数列{$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$}是以$\frac{1}{2}$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．