Question

6．函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x＞1，x≠2）}\end{array}\right.$ 且对于方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7个实数根，则实数a的取值范围是$\sqrt{3}＜a＜2$．

Answer 1

分析 若方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7个实数根，则方程t²-at+a²-3=0有两个实数根，一个在区间（0，1]上，一个在区间（1，2）上，解得答案．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}|{lo{g}_{5}（1-x）|，（x＜1）}\\{-（x-2）^{2}+2，（x＞1，x≠2）}\end{array}\right.$ 的图象如下图所示：

由图可得：当t∈（-∞，0）时，方程f（x）=t有一个根，
当t=0时，方程f（x）=t有两个根，
当t∈（0，1]时，方程f（x）=t有三个根，
当t∈（1，2）时，方程f（x）=t有四个根，
当t∈（2，+∞）时，方程f（x）=t有两个根，
若方程f（x）²-af（x）+a²-3=0有7个实数根，
则方程t²-at+a²-3=0有两个实数根，
一个在区间（0，1]上，一个在区间（1，2）上，
令g（t）=t²-at+a²-3，
$\left\{\begin{array}{l}g（0）={a}^{2}-3＞0\\ g（1）={a}^{2}-a-2＜0\\ g（2）={a}^{2}-2a+1＞0\end{array}\right.$
解得：$\sqrt{3}＜a＜2$．
故答案为：$\sqrt{3}＜a＜2$．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及个数判断，数形结合思想，转化思想，难度中档．