Question

下列五个命题，其中真命题的序号是

 

（写出所有真命题的序号）．
（1）已知C：

x2

2-m

+

y2

m2-4

=1（m∈R），当m＜-2时C表示椭圆．
（2）在椭圆

x2

45

+

y2

20

=1上有一点P，F₁、F₂是椭圆的左，右焦点，△F₁PF₂为直角三角形则这样的点P有8个．
（3）曲线

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)与曲线

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距相同．
（4）渐近线方程为y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=1
（5）抛物线y=ax²的焦点坐标为(0，

1

4a

)．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆方程中2-m不等于m²-4即可得出答案．
（2）由条件知，以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，故有圆的半径大于或等于短半轴的长度．结合圆与椭圆的位置关系求得答案．
（3）分别求得曲线

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)与曲线

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距即可；
（4）根据题意，近线方程为y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=λ(λ≠0)；
（4）先把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得焦点坐标．

解答：解：（1）当m=-3时，椭圆的方程变为C：

x2

5

+

y2

5

=1表示一个圆，故错；
（2）F₁、F₂是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的焦点，P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=90°，
∴以F₁F₂为直径的圆与椭圆有交点，圆的半径r=c≥b，
∴圆与椭圆最多有4个交点，∴，△F₁PF₂为直角三角形则这样的点P最多有4个．故错；
（3）曲线

x2

10-m

+

y2

6-m

=1(m＜6)与曲线

x2

5-m

+

y2

9-m

=1(5＜m＜9)的焦距都为4，相同，故正确；
（4）根据题意，近线方程为y=±

b

a

x(a＞0，b＞0)的双曲线的标准方程一定是

x2

a2

-

y2

b2

=λ(λ≠0)故错；
（5）整理抛物线方程得x²=

1

a

y，p=

1

2a

∴焦点坐标为 (0，

1

4a

)故正确．
故答案为：（3）（5）

点评：本题考查圆锥曲线的共同特征、椭圆的标准方程和简单性质的应用．解决椭圆的标准方程的问题．要注意：对于椭圆标准方程

x2

a2

+

y2

b2

= 1，当焦点在x轴上时，a＞b；当焦点在y轴上时，a＜b．