Question

椭圆以坐标轴为对称轴，且经过点（1，

3

2

）、（-2，0）．记其上顶点为A，右顶点为B．
（1）求圆心在线段AB上，且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程；
（2）在椭圆位于第一象限的弧AB上求一点M，使△MAB的面积最大．

Answer 1

分析：（1）先求出椭圆方程、直线AB方程，再利用点到直线的距离公式，即可求出圆的方程；
（2）法一参数法；法二：设与AB平行的直线为

3

x+2y+p=0，当此直线与椭圆相切于第一象限时，切点即所求M点．

解答：解：设椭圆方程为Ax²+By²=1，则
将（1，

3

2

）、（-2，0）代入有：

A+ 9 4 B=1 4A=1

，
解得：

A= 1 4 B= 1 3

，∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
故有A（0，

3

），B（2，0），右焦点（1，0）
直线AB方程为：

x

2

+

y

3

=1，即：

3

x+2y-2

3

=0（7分）
（1）由题意知圆心（a，b）在第一象限，圆与X轴相切于（1，0），故a=1
代入

3

x+2y-2

3

=0，求得：b=

3

2

，半径r=b=

3

2

故圆的方程为：(x-1)2+(y-

3

2

)2=

3

4

（或：x2+y2-2x-

3

y+1=0）（10分）
（2）法一：设M（2cosθ，

3

sinθ）（0＜θ＜

π

2

）
则M到直线AB距离为：d=

|2 3 cosθ+2 3 sinθ-2 3 |

4+3

=

2 3 •| 2 sin(θ+ π 4 )-1|

7

由0＜θ＜

π

2

知当θ=

π

4

时，|

2

sin(θ+

π

4

)-1|取最大值，d取最大值．
∵AB长为定值，故此时△MAB的面积最大，得M（

2

，

6

2

）（14分）
法二：设与AB平行的直线为

3

x+2y+p=0，
当此直线与椭圆相切于第一象限时，切点即所求M点．
由

3 x+2y+p=0 x2 4 + y2 3 =1

得：6x2+2

3

px+p2-12=0①
令①中△=0，有：12×（24-p²）=0
又直线过第一象限，故p＜0，解得p=-2

6

，
此时由①有x=-

2 3 p

2×6

=

2

代入椭圆方程，取y＞0，解得y=

6

2

．故M（

2

，

6

2

）．

点评：本题考查直线方程、椭圆方程、圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．