Question

（Ⅰ）求经过点（-

3

2

，

5

2

），且与椭圆9x²+5y²=45有共同焦点的椭圆方程；
（Ⅱ）已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，点P（3，0）在该椭圆上，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（1）椭圆9x²+5y²=45化成标准方程，求出焦点坐标，进而设出椭圆方程，利用代入法可求；
（2）设椭圆方程为Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B），利用代入法可求．

解答：解：（1）椭圆9x²+5y²=45化成标准方程，得

x2

5

+

y2

9

=1，
∴椭圆的焦点在y轴，且c²=9-5=4，得c=2，焦点为（0，±2）．
∵所求椭圆经过点（-

3

2

，

5

2

），且与已知椭圆有共同的焦点，
∴设椭圆方程为

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

a2-b2=4 25 4 a2 + 9 4 b2 =1

，解之得a²=10，b²=6，
∴所求的椭圆方程为

y2

10

+

x2

6

=1；
（2）设椭圆方程为Ax²+By²=1（A＞0，B＞0，A≠B）．
∵点P（3，0）在该椭圆上，∴9A=1，即A=

1

9

，
又a=3b，∴B=1或

1

81

，
∴椭圆的方程为

x2

9

+y2=1或

y2

81

+

x2

9

=1．

点评：由所给条件求椭圆的标准方程的基本步骤是：①定位，即确定椭圆的焦点在哪轴上；②定量，即根据条件列出基本量a、b、c的方程组，解方程组求得a、b的值；③写出方程．