Question

已知f(x)=-

4+ 1 x2

，数列{a_n}的前n项和为S_n，点Pn(an，-

1

an+1

)在曲线y=f（x）上（n∈N^*），且a₁=1，a_n＞0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n]的前n项和为T_n，且满足

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，b₁=1，求证：数列{

Tn

4n-3

}是等差数列，并求数列{b_n]的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由已知得出-

1

an+1

=f（a_n）=-

4+ 1  an2

，且a_n＞0，两边平方并移向得出

1

an+12

-

1

an2

=4，
判断出数列{

1

an2

}是等差数列后通项公式易求．
（2）由an=

1

4n-3

(n∈N*)代入

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3，计算整理，并判断出数列{

Tn

4n-3

}是等差数列．求出T_n后再求b_n．

解答：解：（1）由已知，-

1

an+1

=f（a_n）=-

4+ 1  an2

，且a_n＞0，
∴

1

an+1

=

4+ 1 an2

 两边平方并移向得出

1

an+12

-

1

an2

=4，
∴数列{

1

an2

}是等差数列首项

1

a12

=1公差d=4
∴

1

an2

=1+4（n-1）=4n-3．
∴an=

1

4n-3

(n∈N*)…（6分）
（2）由an=

1

4n-3

(n∈N*)，

Tn+1

an2

=

Tn

an+12

+16n2-8n-3
得（4n-3）T_n+1=（4n+1）T_n+（4n-3）（4n+1），
∴

Tn+1

4n+1

-

Tn

4n-3

=1，
∴数列{

Tn

4n-3

}是等差数列．…（10分）
∴

Tn

4n-3

=n，
∴T_n=4n²-3n
当n≥2时，b_n=T_n-T_n-1=8n-7，b₁=1也满足上式
∴bn=8n-7…（12分）

点评：本题考查等差数列的判定、通项公式求解．考查变形构造、转化、计算能力．