Question

已知f(x)=

4-tx

(t＞0)的定义域为A，不等式x²-4x-12＜0的解集为B．记p：x∈A，q：x∈B
（1）当t=2时，试判断p是q的什么条件？
（2）若p是q的必要不充分条件，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当t=2时，解不等式4-2x≥0，求出A={x|x≤2}，解一元二次不等式x²-4x-12＜0求出B={x|-2＜x＜6}，由此能够得到命题p是命题q的必要不充分条件．
（2）由M={x|x＜-3或x＞5}，N={x|（x-8）（x+a）≤0}，命题p是命题q的必要不充分条件，分类讨论能够求出a的取值范围．

解答：解：（1）当t=2时，A={x|x≤2}，
B={x|-2＜x＜6}，
∵命题p：x∈A，命题q：x∈B，
∴q推不出p，p推不出q，
∴命题p是命题q的不必要不充分条件．
（2）∵A={x|4-tx≥0}，
当t=0时，A=R，此时p是q的必要不充分条件；
当t＞0时，A={x|x≤

4

t

}，
要使得命题p是命题q的必要不充分条件，则

4

t

≥6，解得0＜t≤

2

3

；
当t＜0时，A={x|x≥

4

t

}，
要使得命题p是命题q的必要不充分条件，则

4

t

≤-2，解得-2≤t＜0；
综上所述，t的取值范围是{a|-2≤t≤

2

3

}．

点评：本题考查必要条件、充分条件、充要条件的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．