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精英家教网给出以下判断:
(1)b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件;
(2)椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
中,以点(1,1)为中点的弦所在直线方程为x+2y-3=0;
(3)回归直线
y
=
b
x+
a
必过点(
.
x
.
y
)

(4)如图,在四面体ABCD中,设E为△BCD的重心,则
AE
=
AB
+
1
2
AC
+
2
3
AD

(5)双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1( a>0 , b>0 )
的两焦点为F1,F2,P为右支是异于右顶点的任一点,△PF1F2的内切圆圆心为T,则点T的横坐标为a.其中正确命题的序号是
 
分析:(1)利用充要条件的判断方法判断;
(2)利用点差法,求出以点(1,1)为中点的弦所在直线方程;
(3)回归直线
y
=
b
x+
a
必过点(
.
x
.
y
)
,故正确;
(4)利用向量的线性运算可得结论;
(5)设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|,又点P在双曲线右支上⇒|PF1|-|PF2|=2a⇒|F1M|-|F2M|=2a.而|F1M|+|F2M|=2c,设M点坐标为(x,0),则由|F1M|-|F2M|=2a,⇒(x+c)-(c-x)=2a,可解得x=a,显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴,于是问题解决.
解答:解:(1)函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数,可得f(-x)=f(x),得a(-x)2-bx+c=ax2+bx+c,∴-bx=bx,∴b=0;当b=0时,f(x)=ax2+c,满足f(-x)=f(x),是偶函数,所以b=0是函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条件,故(1)正确;
(2)设以A(1,1)为中点椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),∵A(1,1)为EF中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2,把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
,得
x12
4
+
y12
3
=1
x22
4
+
y22
3
=1
,∴3(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0,∴6(x1-x2)+8(y1-y2)=0,∴k=
y1-y2
x1-x2
=-
3
4
,∴以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方程为3x+4y-7=0,故(2)错误;
(3)回归直线
y
=
b
x+
a
必过点(
.
x
.
y
)
,故正确;
(4)在四面体ABCD中,设E为△BCD的重心,则
AE
=
AB
+
BE
=
AB
+
2
3
1
2
(
BC
+
BD
)
=
1
3
(
AB
+
AC
+
AD
)
,故(4)不正确;
(5)设△PF1F2的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B,与F1F2切于点M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,|F2B|=|F2M|.又点P在双曲线右支上,∴|PF1|-|PF2|=2a,即(|PA|+|F1A|)-(|PB|+|F2B|)=2a,∴|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|=2c,设M点坐标为(x,0),∵|F1M|-|F2M|=2a,∴(x+c)-(c-x)=2a,解得x=a,故(5)正确.
故答案为:(1)(3)(5).
点评:本题考查命题真假的判断,涉及的知识点多,需要逐个判断,有难度.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

给出以下判断:
①若1>
1
a
,则a>1;  ②若0<α<π,0<β<
π
2
,则α-β∈(0,
π
2
); ③若|a|>|b|,则a2>b2
④若a>b,则
1
a
1
b
; ⑤若ac2>bc2,则a>b;                     ⑥若a>b,c>d,则
a
d
b
c

其中正确的有(  )个.

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科目:高中数学 来源: 题型:

定义集合A与B的差集A-B={x|x∈A且x∉B},记“从集合A中任取一个元素x,x∈A-B”为事件E,“从集合A中任取一个元素x,x∈A∩B”为事件F;P(E)为事件E发生的概率,P(F)为事件F发生的概率,当a、b∈Z,且a<-1,b≥1时,设集合A={x∈Z|a<x<0},集合B={x∈Z|-b<x<b}.给出以下判断:
①当a=-4,b=2时P(E)=
2
3
,P(F)=
1
3
;          ②总有P(E)+P(F)=1成立;
③若P(E)=1,则a=-2,b=1;                 ④P(F)不可能等于1.
其中所有正确判断的序号为
①②
①②

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

给出以下判断:
①若1>
1
a
,则a>1;  ②若0<α<π,0<β<
π
2
,则α-β∈(0,
π
2
); ③若|a|>|b|,则a2>b2
④若a>b,则
1
a
1
b
; ⑤若ac2>bc2,则a>b;                     ⑥若a>b,c>d,则
a
d
b
c

其中正确的有(  )个.
A.4B.5C.3D.2

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年山东省淄博一中高二(上)期中数学试卷(理科)(解析版) 题型:选择题

给出以下判断:
①若1>,则a>1;  ②若0<α<π,0<β<,则α-β∈(0,); ③若|a|>|b|,则a2>b2
④若a>b,则; ⑤若ac2>bc2,则a>b;                     ⑥若a>b,c>d,则
其中正确的有( )个.
A.4
B.5
C.3
D.2

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