Question

17．a，b是不等的两正数，若$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{{a}^{n}+{b}^{n}}$=2，则b的取值范围是（0，2）．

Answer 1

分析 当a＞b时，$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{{a}^{n}+{b}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-b•（\frac{b}{a}）^n}{1+（\frac{b}{a}）^n}$=a，进而求出b的范围．

解答 解：a，b是不等的两正数，且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{{a}^{n}+{b}^{n}}$=2，
须对a，b作如下讨论：
①当a＞b时，$\underset{lim}{n→∞}$$（\frac{b}{a}）^n$=0，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{{a}^{n}+{b}^{n}}$=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{a-b•（\frac{b}{a}）^n}{1+（\frac{b}{a}）^n}$=a，
所以，a=2，因此，b∈（0，2），
②当a＜b时，则$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{{a}^{n+1}-{b}^{n+1}}{{a}^{n}+{b}^{n}}$=-b=2，
而b＞0，故不合题意，舍去．
综合以上讨论得，b∈（0，2），
故答案为：（0，2）．

点评 本题主要考查了极限及其运算，以及应用常用极限|q|＜1，$\underset{lim}{n→∞}$qⁿ=0解题，属于基础题．