Question

求函数f（x）=

x2sin π x (x≠0) 0(x=0)

的导数．

Answer 1

分析：对于分段函数的导数要分段来求．先通过乘积的导函数的法则求出原函数在x≠0时的导数，再利用导数定义求出当x=0时的导数，最后分段写出导数解析式即可．

解答：解：当x≠0时，f′(x)=(x2sin

π

x

)′=2xsin

π

x

+x2cos

π

x

(

-π

x2

)=2xsin

π

x

-πcos

π

x

．
当x=0时，f′(0)=

lim

△x→0

f(△x+0)-f(0)

△x

=

lim

△x→0

△x2sin π △x -0

△x

=

lim

△x→0

△xsin

π

△x

=0．
∴f′(x)=

2xsin π x -πcos π x .  (x≠0) 0(x=0)

．

点评：本题考查了导数的运算，已知原函数是一个分段函数，求导函数解析式，利用分段求解的方法，本题属于基础题．导数的四则运算法则（和、差、积、商）：①（u±v）'=u'±v'②（uv）'=u'v+uv'③（u/v）'=

u′v-uv′

v2

．