Question

抛物线y²＝4px(p＞0)的准线与x轴交于M点，过点M作直线l交抛物线于A、B两点．

(1)若线段AB的垂直平分线交x轴于N(x₀，0)，比较x₀与3p大小；

(2)若直线l的斜率依次为p，p²，p³，…，线段AB的垂直平分线与x轴的交点依次为N₁，N₂，N₃，…，求＋＋…＋的值．

Answer 1

答案：
解析：

解：设直线l方程为y＝k(x＋p)，代入y2＝4px． 　　得k2x2＋(2k2p－4p)x＋k2p2＝0．Δ＝4(k2p－2p)2－4k2·k2p2＞0，得0＜k2＜1． 　　令A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2p)＝， 　　AB中点坐标为(，)．AB垂直平分线为y－＝－(x－)． 　　令y＝0，得x0＝＝p＋．由上可知0＜k2＜1，∴x0＞p＋2p＝3p．∴x0＞3p． 　　(2)解：∵l的斜率依次为p，p2，p3，…时，AB中垂线与x轴交点依次为N1，N2，N3，…． 　　∴点Nn的坐标为(p＋，0)． 　　|NnNn+1|＝|(p＋)－(p＋)|＝，＝， 所求的值为[p3＋p4＋…＋p21]＝，因为0＜k2＜1，所以0＜P＜1