Question

【题目】如图，在多面体EF﹣ABCD中，ABCD，ABEF均为直角梯形， ，DCEF为平行四边形，平面DCEF⊥平面ABCD．

（1）求证：DF⊥平面ABCD；
（2）若△ABD是等边三角形，且BF与平面DCEF所成角的正切值为 ，求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为 ，所以AB⊥平面BCE，

又EF∥CD，所以EF∥平面ABCD，从而有AB∥CD∥EF，

所以CD⊥平面BCE，从而CD⊥CE，

又CE∥DF，所以CD⊥DF，

又平面DCEF⊥平面ABCD，所以DF⊥平面ABCD．

（2）解法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，

因为AB⊥平面BCE，所以CH⊥AB，从而CH⊥平面ABEF，

所以CH⊥BF，从而BF⊥平面CHK，所以BF⊥KH

即∠HKC为C﹣BF﹣E的平面角，与 A﹣BF﹣C的平面角互补．

因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．

由 ，所以2CB2=CD2+CE2，

由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，所以

令CD=a，所以 ， ．

所以 ， ．

所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为 ．

解法2：因为CB，CD，CE两两垂直，

以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，如图建立空间直角坐标系．

不妨设CD=1．

因为BC⊥DCEF，所以BF与平面DCEF所成角为∠BFC．

由 ，所以2CB2=CD2+CE2，

由△ABD是等边三角形，知∠CBD=30°，

所以 ，

，

平面ABF的一个法向量 ，平面CBF的一个法向量

则 ，且

取

则 ．

二面角A﹣BF﹣C的平面角与 的夹角互补．

所以二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）推导出AB⊥平面BCE，AB∥CD∥EF，从而CD⊥平面BCE，进而CD⊥CE，由CE∥DF，得CD⊥DF，由此能证明DF⊥平面ABCD．（2）法1：过C作CH⊥BE交BE于H，HK⊥BF交BF于K，推导出∠HKC为C﹣BF﹣E的平面角，由此能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．法2：以C为原点，CD，CB，CE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．不妨设CD=1，利用向量法能求出二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想才能正确解答此题．