Question

（选做题）已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，圆M的参数方程为

x=2cosθ y=-2+2sinθ

(θ为参数）．
（Ⅰ）求圆M上的点到直线的距离的最小值；
（Ⅱ）若过点C（2，0）的直线l与圆M交于A、B两点，且

CA

=

AB

，求直线l的斜率．

Answer 1

分析：（1）把圆的参数方程化为普通方程，把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，把此距离再减去半径，即得所求．
（2）设出直线l的参数方程，代入圆M的方程化简，根据参数的几何意义以及韦达定理，求得cosθ+sinθ=

3 2

4

，再利用同角三角函数的基本关系求出tanθ的值，即为所求．

解答：解：（1）圆M的普通方程为x²+（y+2）²=4，圆心M（0，-2），半径等于2．直线的极坐标方程ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，即x+y-1=0．
圆心到直线x+y-1=0的距离d=

3 2

2

，
∴圆M上的点到直线的距离的最小值为

3 2

2

-2．
（2）设直线l的参数方程是

x=2+tcosθ y=tsinθ

(t为参数），代入圆M的方程得：t²+（4cosθ+4sinθ）t+4=0，
由t的几何意义及

CA

=

AB

知，t₁=2t₂且t₁+t₂=-4cosθ-4sinθ，t₁t₂=4．
结合几何图形知，t＜0，∴t1=2t2=-2

2

，
∴-4cosθ-4sinθ=-3

2

，即cosθ+sinθ=

3 2

4

．
∴sinθcosθ=

1

16

，∴tanθ=4±

15

，
∴直线l的斜率是4±

15

．

点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，参数的几何意义，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系的应用，属于基础题．