Question

10．设复数z₁=-1+i，z₂=3-i（i为虚数单位），若复数z满足|z-z₁|-|z-z₂|=4，则|z-$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{2}$|的最小值是2．

Answer 1

分析 由题意可得复数z在复平面内对应的点Z的轨迹为以z₁，z₂为焦点，实半轴为a=2，半焦距为c=$\sqrt{5}$的双曲线，求出$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{2}$对应的点（1，0），然后借助于双曲线的性质得答案．

解答 解：设复数z在复平面内对应的点为Z，
∵z₁=-1+i，z₂=3-i，∴z₁，z₂在复平面内所对应点Z₁、Z₂的距离为$2\sqrt{5}$＞4，
由|z-z₁|-|z-z₂|=4，可得Z的轨迹为以z₁，z₂为焦点，实半轴为a=2，半焦距为c=$\sqrt{5}$的双曲线的右支，
而$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{2}$=$\frac{-1+i+3-i}{2}=1$，且（1，0）在直线Z₁Z₂上，
∴|z-$\frac{{z}_{1}+{z}_{2}}{2}$|的最小值等于（-1，1）与（1，0）的距离减去（c-a），
即$\sqrt{（-1-1）^{2}+（1-0）^{2}}-（\sqrt{5}-2）$=2．
故答案为：2．

点评 本题考查复数模的求法，考查圆锥曲线的定义和性质，考查数学转化思想方法，属中档题．