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请考生在(1)(2)中任选一题作答,每小题12分.如都做,按所做的第(1)题计分.
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接B、D,若BC=,求AC的长.
(2)已知双曲线C:x2-y2=2,以双曲线的左焦点F为极点,射线FO(O为坐标原点)为极轴,点M为双曲线上任意一点,其极坐标是(ρ,θ),试根据双曲线的定义求出ρ与θ的关系式(将ρ用θ表示).

【答案】分析:(1)由条件可得,由切割线定理知BC2=CD•CA,解方程求得AC的长.
(2)由双曲线的方程知:,分M在双曲线的左支上和M在双曲线的右支上两种情况,利用双曲线的定义求得ρ与θ的关系式.
解答:解:(1)如图,由∠C=72°,AB=AC知,∠ABC=72°,∠BAC=36°.
由弦切角定理知∠DBC=36°,…(4分)
又∠C=72°得∠BDC=72°,∴∠ABD=72°-36=36,故,…(8分)
由切割线定理知BC2=CD•CA,即
解得:AC=2或(舍),所以AC的长为2.…(12分)
(2)由双曲线的方程知:,结合图形,
当M在双曲线的左支上时,
由双曲线的定义得,即,所以.(6分)
当M在双曲线的右支上时,
由双曲线的定义得,即,所以.(12)分
点评:本题主要考查与圆相关的比例线段,把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,双曲线的简单性质的应用,属于中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

请考生在(1)(2)中任选一题作答,每小题12分.如都做,按所做的第(1)题计分.
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接B、D,若BC=
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,求AC的长.
(2)已知双曲线C:x2-y2=2,以双曲线的左焦点F为极点,射线FO(O为坐标原点)为极轴,点M为双曲线上任意一点,其极坐标是(ρ,θ),试根据双曲线的定义求出ρ与θ的关系式(将ρ用θ表示).

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科目:高中数学 来源: 题型:

选做题(请考生在以下三个小题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评阅记分)
A.(选修4-4坐标系与参数方程)若M,N分别是曲线ρ=2cosθ和ρsin(θ-
π
4
)=
2
2
上的动点,则M,N两点间的距离的最小值是
2
-1
2
-1

B.(选修4-5 不等式选讲)若不等式|x+
1
x
|>|a-2|+1
对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围为
1<a<3
1<a<3

C.(选修4-1 几何证明选讲)(几何证明选做题)如图,圆O的割线PBA过圆心O,弦CD交AB于点E,且△COE~△PDE,PB=OA=2,则PE的长等于
3
3

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科目:高中数学 来源:2010年本溪市高二下学期期末考试(理科)数学卷 题型:填空题

注意:请考生在(1)、(2)、(3)三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分

(1)如图,AC为⊙O的直径,弦BD⊥AC于点P,PC=2,PA=8,

的值为       _____.

                   

(2)在极坐标系中,圆的圆心的极坐标是      _____.

(3)不等式的解集为       _____.

 

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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

请考生在(1)(2)中任选一题作答,每小题12分.如都做,按所做的第(1)题计分.
(1)如图,在△ABC中,AB=AC,∠C=72°,⊙O过A、B两点且与BC相切于点B,与AC交于点D,连接B、D,若BC=数学公式,求AC的长.
(2)已知双曲线C:x2-y2=2,以双曲线的左焦点F为极点,射线FO(O为坐标原点)为极轴,点M为双曲线上任意一点,其极坐标是(ρ,θ),试根据双曲线的定义求出ρ与θ的关系式(将ρ用θ表示).

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