Question

已知函数f（x）=（x-a）²（x-b）（a，b∈R，a＜b）．
（I）当a=1，b=2时，求曲线y=f（x）在点（2，f（x））处的切线方程；
（II）设x₁，x₂是f（x）的两个极值点，x₃是f（x）的一个零点，且x₃≠x₁，x₃≠x₂．
证明：存在实数x₄，使得x₁，x₂，x₃，x₄按某种顺序排列后的等差数列，并求x₄．

Answer 1

分析：（1）将a，b的值代入后对函数f（x）进行求导，根据导数的几何意义即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率，可得答案．
（2）对函数f（x）求导，令导函数等于0解出x的值，然后根据x₃是f（x）的一个零点可得到x₃=b，然后根据等差数列的性质可得到答案．

解答：（Ⅰ）解：当a=1，b=2时，
因为f′（x）=（x-1）（3x-5）
故f′（2）=1
f（2）=0，
所以f（x）在点（2，0）处的切线方程为y=x-2；
（Ⅱ）证明：因为f′（x）=3（x-a）（x-

a+2b

3

），
由于a＜b．
故a＜

a+2b

3

．
所以f（x）的两个极值点为x=a，x=

a+2b

3

．不妨设x₁=a，x₂=

a+2b

3

，
因为x₃≠x₁，x₃≠x₂，
且x₃是f（x）的零点，故x₃=b．
又因为

a+2b

3

-a=2（b-

a+2b

3

），
x₄=

1

2

（a+

a+2b

3

）=

2a+b

3

，
所以a，

2a+b

3

，

a+2b

3

，b依次成等差数列，
所以存在实数x₄满足题意，且x₄=

2a+b

3

．

点评：本题主要考查函数的极值概念、导数运算法则、切线方程、导线应用、等差数列等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力和创新意识．