Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知椭圆的右焦点为，上顶点为，，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）动直线l与椭圆相交于、两点，与轴相交于点，与轴的正半轴相交于点，为线段的中点，若为定值，请判断直线l是否过定点，求实数的值，并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线l过定点，，理由见解析.

【解析】

（1）设点的坐标为.由，可得，，故椭圆的标准方程为，把点代入，求出，即得椭圆的标准方程；

（2）由题意可设直线的方程为，，则.由，消去，韦达定理可得.由，可得为定值，故，即求，即得直线l过定点.

（1）设点的坐标为.

由，，，，可得，.

椭圆的标准方程为，点在椭圆上，

，，

故椭圆的标准方程为.

（2）由题意可知直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，

设，则.

由，消去，整理可得，

则，.

由，

可得.

，

，

，.

，，

，

若为定值，则必有，

解得，，，.

故直线 过定点，.