Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

（n≥2），b_n=

2n

an

．
（1）证明：

1

an

-

1

an-1

=

1

2

；
（2）求数列{bn}的前项和Sn．

Answer 1

分析：（1）由已知，

1

an

-

1

an-1

=

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

=…=

a1-a2

a2a1

=

1

2

（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，通过{

1

an

}的通项公式求出b_n=n×2^n-1，利用错位相消法化简计算即可．

解答：解：（1）证明：

1

an

-

1

an-1

=

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

=…=

a1-a2

a2a1

=

1

2

（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

为首项，

1

2

为公差的等差数列，
∴

1

an

=

n

2

，b_n=n×2^n-1，
S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1
2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ
-S_n=1+2¹+2²+2³+…2ⁿ-n×2ⁿ=

1-2n

1-2

-n×2ⁿ=（1-n）2ⁿ-1，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1，

点评：本题为数列的求通项和求和的综合应用，涉及等差等比数列以及错位相减法求和，属中档题