Question

4．在如图所示的几何体中，三棱锥D-ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，则下列说法正确的是（　　）

• A． OA，OB，OC的长度可以不相等
• B． 直线OB∥平面ACD
• C． 直线OD与BC所成的角是45°
• D． 直线AD与OB所成的角是45°

Answer 1

分析 在A中，推导出△AOC≌△BOC≌AOB，从而OA，OB，OC的长都相等；在B中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线OB与平面ACD不平行；在C中，直线OD与BC所成的角是90°；在D中，利用向量法得到直线AD与OB所成的角是45°．

解答 解：在A中，∵棱锥D-ABC的各条棱长均为2，OA，OB，OC两两垂直，
∴△AOC≌△BOC≌AOB，∴OA，OB，OC的长都相等，故A错误；
在B中，以O为原点，OA，OB，OC分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
O（0，0，0），B（0，$\sqrt{2}$，0），A（$\sqrt{2}$，0，0），C（0，0，$\sqrt{2}$），D（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（-$\sqrt{2}$，0，$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
设平面ACD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-\sqrt{2}x+\sqrt{2}z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AD}=\sqrt{2}y+\sqrt{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，1），
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{n}$=-$\sqrt{2}$，∴直线OB不平行于平面ACD，故B错误；
在C中，$\overrightarrow{OD}$=（$\sqrt{2}，\sqrt{2}，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（0，-$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），
cos＜$\overrightarrow{OD}，\overrightarrow{BC}$＞=$\frac{0-2+2}{\sqrt{6}•\sqrt{4}}$=0，∴直线OD与BC所成的角是90°，故C错误；
在D中，$\overrightarrow{AD}$=（0，$\sqrt{2}，\sqrt{2}$），$\overrightarrow{OB}$=（0，$\sqrt{2}，0$），
∴cos＜$\overrightarrow{AD}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{OB}}{|\overrightarrow{AD}|•|\overrightarrow{OB}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴直线AD与OB所成的角是45°，故D正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．