Question

12．在边长为a的正方形ABCD中，剪下一个扇形和一个圆，如图所示，分别作为圆锥的侧面和底面，求所围成的圆锥的体积．

Answer 1

分析 根据展开图与圆锥的对应关系列出方程组，求出圆锥的母线长，底面半径，高，代入体积公式化简．

解答 解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，则$\left\{\begin{array}{l}{l+r+\sqrt{2}r=\sqrt{2}a}\\{\frac{2πl}{4}=2πr}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{l=\frac{4\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\\{r=\frac{\sqrt{2}a}{5+\sqrt{2}}}\end{array}\right.$，设圆锥的高为h，则h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{15}$r．
∴V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}h$=$\frac{2\sqrt{30}π{a}^{3}}{3（5+\sqrt{2}）^{3}}$．

点评 本题考查了圆锥的展开图，圆锥的体积，属于基础题，但计算较复杂．