Question

2．已知函数f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，若C为锐角，f（A+B）=0，AC=2$\sqrt{3}$，BC=3，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，利用周期公式可求f（x）的最小正周期T．
（2）由已知可得sin（2A+2B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，由A，B是△ABC的内角，解得：A+B=$\frac{π}{2}$或A+B=$\frac{5π}{6}$，结合A+B+C=π，C为锐角，可得C=$\frac{π}{6}$，由余弦定理即可求得AB的值．

解答 解：（1）∵f（x）=2cos²x+$\sqrt{3}$sin2x=cos2x+1+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，…4分
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}=π$．…7分
（2）∵f（A+B）=0，
∴sin（2A+2B+$\frac{π}{6}$）=-$\frac{1}{2}$，
∵A，B是△ABC的内角，
∴2A+2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{7π}{6}$，或2A+2B+$\frac{π}{6}$=$\frac{11π}{6}$，解得：A+B=$\frac{π}{2}$或A+B=$\frac{5π}{6}$，
∵A+B+C=π，∴C=$\frac{π}{2}$，或C=$\frac{π}{6}$，
∵C为锐角，∴可得C=$\frac{π}{6}$，
∵AC=2$\sqrt{3}$，BC=3，
∴由余弦定理可得：AB²=AC²+BC²-2AC×BC×cosC=12+9-2×$2\sqrt{3}×3×\frac{\sqrt{3}}{2}=3$，
即AB=$\sqrt{3}$．…14分

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，周期公式，正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形内角和定理的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．