Question

17．设向量$\overrightarrow{{a}_{n}}$=（sin$\frac{nπ}{3}$，cos$\frac{nπ}{3}$），$\overrightarrow{{b}_{n}}$=（sin$\frac{nπ}{4}$，cos$\frac{nπ}{4}$）（n∈N₊），则$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$）=-1．

Answer 1

分析 化简$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$=cos$\frac{nπ}{12}$．于是根据诱导公式可得$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{b}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{11}}•\overrightarrow{{b}_{11}}$=$\overrightarrow{{a}_{2}}•\overrightarrow{{b}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{10}}•\overrightarrow{{b}_{10}}$=$\overrightarrow{{a}_{3}}•\overrightarrow{{b}_{3}}$+$\overrightarrow{{a}_{9}}•\overrightarrow{{b}_{9}}$=…=$\overrightarrow{{a}_{5}}•\overrightarrow{{b}_{5}}$+$\overrightarrow{{a}_{7}}•\overrightarrow{{b}_{7}}$=0，所以$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$）=$\overrightarrow{{a}_{6}}•\overrightarrow{{b}_{6}}$+$\overrightarrow{{a}_{12}}•\overrightarrow{{b}_{12}}$=cos$\frac{π}{2}$+cosπ=-1．

解答 解：$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$=sin$\frac{nπ}{3}$sin$\frac{nπ}{4}$+cos$\frac{nπ}{3}$cos$\frac{nπ}{4}$=cos（$\frac{nπ}{3}$-$\frac{nπ}{4}$）=cos$\frac{nπ}{12}$．
∴$\overrightarrow{{a}_{1}}•\overrightarrow{{b}_{1}}$+$\overrightarrow{{a}_{11}}•\overrightarrow{{b}_{11}}$=cos$\frac{π}{12}$+cos$\frac{11π}{12}$=0，同理，$\overrightarrow{{a}_{2}}•\overrightarrow{{b}_{2}}$+$\overrightarrow{{a}_{10}}•\overrightarrow{{b}_{10}}$=0，$\overrightarrow{{a}_{3}}•\overrightarrow{{b}_{3}}$+$\overrightarrow{{a}_{9}}•\overrightarrow{{b}_{9}}$=0，…$\overrightarrow{{a}_{5}}•\overrightarrow{{b}_{5}}$+$\overrightarrow{{a}_{7}}•\overrightarrow{{b}_{7}}$=0．
∴$\sum_{n=1}^{12}$（$\overrightarrow{{a}_{n}}$•$\overrightarrow{{b}_{n}}$）=$\overrightarrow{{a}_{6}}•\overrightarrow{{b}_{6}}$+$\overrightarrow{{a}_{12}}•\overrightarrow{{b}_{12}}$=cos$\frac{π}{2}$+cosπ=-1．
故答案为-1．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，诱导公式，平面向量的数量积公式，属于中档题．