Question

15．已知f（x）=x+ax^-1（a＞0），
（1）若f（1）=2且f（m）=5，求m²+m^-2的值；
（2）求实数a的范围使函数f（x）在区间（1，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）可由f（1）=2得到a=1，而根据f（m）=5便可得到m+m^-1=5，该式两边平方便可得出m²+m^-2的值；
（2）根据增函数的定义，设任意的x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，然后作差，通分，提取公因式，便可得到$f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）=（{x}_{1}-{x}_{2}）•\frac{{x}_{1}{x}_{2}-a}{{x}_{1}{x}_{2}}$，从而可以得到a＜x₁x₂在（1，+∞）上恒成立，而x₁x₂＞1，从而得到a≤1，这便得出了实数a的范围．

解答 解：（1）由f（1）=2得a=1；
∴f（x）=x+x^-1；
由f（m）=5得m+m^-1=5；
∴（m+m^-1）²=25；
即m²+m^-2+2=25；
∴m²+m^-2=23；
（2）设1＜x₁＜x₂，则：
$f（{x_1}）-f（{x_2}）={x_1}+\frac{a}{x_1}-{x_2}-\frac{a}{x_2}=（{x_1}-{x_2}）+\frac{{a（{x_2}-{x_1}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$；
因为f（x）在区间（1，+∞）上是增函数；
所以$（{x_1}-{x_2}）•\frac{{{x_1}{x_2}-a}}{{{x_1}{x_2}}}$＜0，由1＜x₁＜x₂得x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0；
∴x₁x₂-a＞0在（1，+∞）上恒成立；
即a＜x₁x₂在（1，+∞）上恒成立；
又x₁x₂＞1，∴a≤1；
∴实数a的范围为（-∞，1]．

点评 本题考查已知f（x）求f（x₀）的方法，完全平方式的运用，增函数的定义，作差的方法比较f（x₁），f（x₂）的大小，作差后是分式的一般要通分，一般要提取公因式x₁-x₂．