Question

10．已知等差数列{a_n}满足：a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n项和为S_n
（Ⅰ）求a_n及S_n
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$（n∈N^*），若数列{b_n}的前n项和为T_n，证明：$\frac{1}{8}≤{T_n}＜\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可得到所求；
（Ⅱ）求得b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由数列的求和方法：裂项相消求和，可得T_n，再由数列的单调性和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，
由a₃=7，a₅+a₇=26，可得
$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=7}\\{2{a}_{1}+10d=26}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=2，
则a_n=3+2（n-1）=2n+1；                    
S_n=3n+$\frac{1}{2}$n（n-1）•2=n²+2n；                      
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知a_n=2n+1，
则b_n=$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（2n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{4}$•$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则前n项和为T_n=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{1}{4}$（1-$\frac{1}{n+1}$）＜$\frac{1}{4}$，
$又\frac{1}{8}={T_1}≤{T_n}，所以\frac{1}{8}≤{T_n}＜\frac{1}{4}$．

点评 本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：裂项相消求和，同时考查不等式的证明，注意运用数列的单调性和不等式的性质，属于中档题．