Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足：|$\overrightarrow{a}$|=3，|$\overrightarrow{b}$|=1，|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|≤2，则$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$上的投影长度的取值范围是（　　）

• A． [0，$\frac{1}{13}$]
• B． （0，$\frac{5}{13}$]
• C． [$\frac{1}{13}$，1]
• D． [$\frac{3}{4}$，1]

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角的范围，代入投影公式计算最值．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$|≤2，∴${\overrightarrow{a}}^{2}-4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+4${\overrightarrow{b}}^{2}$≤4．即9+4-4$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≤4．∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$≥$\frac{9}{4}$．
设$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$的夹角为θ，则cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|•|\overrightarrow{b}|}$≥$\frac{3}{4}$．又∵cosθ≤1，∴$\frac{3}{4}$≤cosθ≤1．
∴$\frac{3}{4}$≤|$\overrightarrow{b}$|cosθ≤1．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量数量积的运算与应用，求出向量夹角是关键．