Question

已知点P（4，4），圆C：（x﹣m）²+y²=5（m＜3）与椭圆E：有一个公共点A（3，1），F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，直线PF₁与圆C相切．
（1）求m的值与椭圆E的方程；
（2）设Q为椭圆E上的一个动点，求的取值范围．

Answer 1

解：（1）点A代入圆C方程，得（3﹣m）²+1=5．
∵m＜3，∴m=1．
设直线PF₁的斜率为k，则PF₁：y=k（x﹣4）+4，即kx﹣y﹣4k+4=0．
∵直线PF₁与圆C相切，圆C：（x﹣1）²+y²=5，
∴，解得．
当k=时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k=时，直线PF₁与x轴的交点横坐标为﹣4，
∴c=4．
∴F₁（﹣4，0），F₂（4，0）．
故2a=AF₁+AF₂=，，a²=18，b²=2．
椭圆E的方程为：．
（2），设Q（x，y），，．
∵，即x²+（3y）²=18，而x²+（3y）²≥2|x||3y|，
∴﹣18≤6xy≤18．则（x+3y）²=x²+（3y）²+6xy=18+6xy的取值范围是[0，36]．
∴x+3y的取值范围是[﹣6，6]
∴x+3y﹣6的范围是：[﹣12，0]．
即的取值范围是[﹣12，0]．