Question

已知函数f（x）=（ a为常数）在点（1，f（1））处切线的斜率为．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，求t的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）求导数可得，
∵函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为，
∴，解得a=1---------------------------------（5分）
（Ⅱ）由（I）可知
∵函数f（x）在区间[t，+∞）（t∈Z）上存在极值，
∴方程f′（x）=0 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，
∴方程 在[t，+∞）（t∈Z）上有解----------------------------------（7分）
令，
∵x＞0，∴，
∴g（x）在（0，+∞）上为减函数---（9分）
又，

∴函数g（x）有零点x₀∈（3，4）----------------------------------（12分）
∵方程g（x）=0在[t，+∞）上有解，且t∈Z，
∴t≤3，∴t的最大值为3．---------（13分）
分析：（Ⅰ）求导数，函数f（x）在点（1，f（1））处切线的斜率为，可得，解之即可；（Ⅱ）把问题转化为方程 在[t，+∞）（t∈Z）上有解，构造函数，可得函数g（x）有零点x₀∈（3，4），进而可得答案．
点评：本题为函数与导数的综合应用，涉及切线问题和构造函数法以及函数的零点，属中档题．