Question

随m的取值变化，方程2mx-y+m²=2m+3表示无数条直线，对于某点P，在且只在这些直线中的某一条上，将所有这样的点P组成集合M．
（1）判断点（2，0），（2，-4）是否属于M，简述理由；
（2）求点P的轨迹C的方程；
（3）若曲线C与它关于点Q（a，-3a）对称的曲线C₁，有两个不同的交点A，B，求直线AB斜率的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把（2，0）、（2，-4）代入方程，即可求得结论；
（2）由方程m²+2（x-1）m-y-3=0有唯一解，即可求得轨迹方程；
（3）先确定C₁方程，与抛物线方程联立，确定a的范围，表示出直线AB斜率，即可求得结论．

解答：解：（1）把（2，0）代入方程有m²+2m-3=0，解得m=1或m=-3，
故（2，0）是其中两条直线上的点，故（2，0）∉M
把（2，-4）代入方程有m²+2m+1=0，解得m=-1，故（2，-4）∈M
（2）由题意知方程m²+2（x-1）m-y-3=0有唯一解∴△=4（x-1）²+4（y+3）=0，∴所求轨迹方程为y=-x²+2x-4
（3）设R（x，y）为C₁上任意一点，则R关于Q（a，-3a）的对称点（2a-x，-6a-y）必在曲线C上．∴-6a-y=-（2a-x）²+2（2a-x）-4，即y=x²+2（1-2a）x+4a²-10a+4为C₁方程
联立

y=-x2+2x-4， y=x2+2(1-2a)x+4a2-10a+4

，消去y得x²-2ax+2a²-5a+4=0
由△＞0得a²-5a+4＜0，∴1＜a＜4，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=2-(x1+x2)=-2a+2
又1＜a＜4．
∴k_AB∈（-6，0）

点评：本题考查轨迹方程，考查曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．