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随m的取值变化,方程2mx-y+m2=2m+3表示无数条直线,对于某点P,在且只在这些直线中的某一条上,将所有这样的点P组成集合M.
(1)判断点(2,0),(2,-4)是否属于M,简述理由;
(2)求点P的轨迹C的方程;
(3)若曲线C与它关于点Q(a,-3a)对称的曲线C1,有两个不同的交点A,B,求直线AB斜率的取值范围.

解:(1)把(2,0)代入方程有m2+2m-3=0,解得m=1或m=-3,
故(2,0)是其中两条直线上的点,故(2,0)∉M
把(2,-4)代入方程有m2+2m+1=0,解得m=-1,故(2,-4)∈M
(2)由题意知方程m2+2(x-1)m-y-3=0有唯一解∴△=4(x-1)2+4(y+3)=0,∴所求轨迹方程为y=-x2+2x-4
(3)设R(x,y)为C1上任意一点,则R关于Q(a,-3a)的对称点(2a-x,-6a-y)必在曲线C上.∴-6a-y=-(2a-x)2+2(2a-x)-4,即y=x2+2(1-2a)x+4a2-10a+4为C1方程
联立,消去y得x2-2ax+2a2-5a+4=0
由△>0得a2-5a+4<0,∴1<a<4,

又1<a<4.
∴kAB∈(-6,0)
分析:(1)把(2,0)、(2,-4)代入方程,即可求得结论;
(2)由方程m2+2(x-1)m-y-3=0有唯一解,即可求得轨迹方程;
(3)先确定C1方程,与抛物线方程联立,确定a的范围,表示出直线AB斜率,即可求得结论.
点评:本题考查轨迹方程,考查曲线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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探究函数,,x∈(0,+∞)的最小值,并确定取得最小值时x的值,列表如下:
请观察表中y值随x值变化的特点,完成下列问题:
(1)当x>0时,在区间(0,2)上递减,在区间______上递增;所以,x=______时,y取到最小值为______;
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已知函数

(Ⅰ)若函数和函数在区间上均为增函数,求实数的取值范围;

(Ⅱ)若方程有唯一解,求实数的值.

【解析】第一问,   

当0<x<2时,,当x>2时,

要使在(a,a+1)上递增,必须

如使在(a,a+1)上递增,必须,即

由上得出,当上均为增函数

(Ⅱ)中方程有唯一解有唯一解

  (x>0)

随x变化如下表

x

-

+

极小值

由于在上,只有一个极小值,的最小值为-24-16ln2,

当m=-24-16ln2时,方程有唯一解得到结论。

(Ⅰ)解: 

当0<x<2时,,当x>2时,

要使在(a,a+1)上递增,必须

如使在(a,a+1)上递增,必须,即

由上得出,当上均为增函数  ……………6分

(Ⅱ)方程有唯一解有唯一解

  (x>0)

随x变化如下表

x

-

+

极小值

由于在上,只有一个极小值,的最小值为-24-16ln2,

当m=-24-16ln2时,方程有唯一解

 

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