Question

已知圆C的方程

（1）若点在圆C的内部,求m的取值范围；

（2）若当时

①设为圆C上的一个动点，求的最值；.

②问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

 

Answer 1

（1）m>-5 （2）①4 ②存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1

【解析】

试题分析：（1）根据圆C的标准方程可得m＞-5．再根据点A（m，-2）在圆C的内部，可得 ，由此求得m的范围．

（2）①表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，求得|HC|=5，故的最大值为HC加上半径后的平方，的最小值为HC减去半径后的平方．

②假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m，则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点，即N（?），以AB为直径的圆经过原点，求得|AN|=，|ON|=，由|AN|=|ON|，解得m的值，可得结论．

试题解析：（1）,∴m>-5.

（2）①当m=4时，圆C的方程即，而表示圆C上的点P（x，y）到点H（4，2）的距离的平方，由于|HC|==5，故的最大值为 （5+3）2=64，的最小值为 （5-3）2=4．

②法一：假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-（x-1）的交点即N,以AB为直径的圆经过原点，

∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=，

∴|AN|=.

又|ON|=

由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1.

∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1．

法二：假设存在直线l，设其方程为：

由

得： ①

设A（），B（）

则： ∴

又∵OA⊥OB

∴ ∴

解得b=1或

把b=1和分别代入①式，验证判别式均大于0，故存在b=1或

∴存在满足条件的直线方程是：

考点：直线与圆的位置关系；点与圆的位置关系．