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如图,几何体A1C1-ABC中,四边形AA1C1C为平行四边形,且面AA1C1C⊥面ABCAA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O是AC中点.
(Ⅰ)证明:A1O⊥平面ABC;
(Ⅱ)求直线BC1与底面ABC所成角的正弦值.
(1)证明:∵AA1=A1C=AC,∴△AA1C是等边三角形,
∵O是AC中点,∴A1O⊥AC,
∵AC是面AA1C1C和面ABC的交线,且面AA1C1C⊥面ABC,
又∵A1O?面AA1C1C,
∴A1O⊥面ABC.
(2)作C1E⊥AC,交AC的延长线于点E,连接BE,
则C1EA1O,∴C1E⊥面ABC,
∴∠C1BE就是直线BC1与底面ABC所成角.
∵四边形AA1C1C为平行四边形,且面AA1C1C⊥面ABC,
AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,O是AC中点.
∴C1E=A1O=
3
,AB=BC=
2

∴C1O=
22+(
3
)2
=
7
,BO=1,
∴BC1=
(
7
)2+1
=2
2

∴sin∠C1BE=
C1E
BC1
=
2
2
2
=
1
2
练习册系列答案
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如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,D1D⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,且AB=1,D1D=
2
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(2)求证:AC平面EGF.

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如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,△ABC为等边三角形,侧棱AA1⊥平面ABC,AB=2,AA1=2
3
,D、E分别为AA1、BC1的中点.
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(Ⅱ)求三棱锥C-BC1D的体积.

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(1)若C1M=
3
2
,求异面直线A1M和C1D1所成角的正切值;
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如图,在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中,∠ABC=60°,PA=AC=a,PB=PD=
2
a,点E在PD上,且PE:ED=2:1.
(1)求证:PA⊥平面ABCD;
(2)求面EAC与面DAC所成的二面角的大小.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,平面EAD⊥平面ABCD,△ADE是等边三角形,ABCD是矩形,F是AB的中点,G是AD的中点,EC与平面ABCD成30°角.
(1)求证:EG⊥平面ABCD;
(2)若AD=2,求二面角E-FC-G的度数.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,AO⊥平面α,点O为垂足,BC?平面α,BC⊥OB,若∠ABO=
π
4
∠COB=
π
6
,则cos∠BAC=______.

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