Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴、y轴于A、B两点，O为坐标原点，且|OA|=a，|OB|=b
（a＞2，b＞2）．
（1）求直线l与圆C相切的条件；
（2）在（1）的条件下，求线段AB的中点轨迹方程；
（3）在（1）的条件下，求△AOB面积的最小值．

Answer 1

解：设直线l的方程为，即bx+ay-ab=0，圆C的标准方程为（x-1）²+（y-1）²=1，圆心C（1，1），半径r=1．
（1）直线l与圆C相切，则，∴（a-2）（b-2）=2（4分）
（2）设线段AB的中点M（x，y），则，，即a=2x，b=2y，代入（a-2）（b-2）=2，得（8分）
（3）=（a-2）+（b-2）+3
当且仅当时，△AOB的面积最小，最小值为
分析：（1）由已知中圆C：x²+y²-2x-2y+1=0，直线交x轴、y轴于A、B两点|OA|=a，|OB|=b，我们设以分别求出直线的一般方程，和圆的标准方程，然后根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径得到结论；
（2）设线段AB的中点M（x，y），代入（1）的结论，整理后，即可得到答案；
（3），结合（1）的结论，及均值不等式，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线和圆的方程的应用，轨迹方程，直线与圆的位置关系，考查的解题方法为坐标法，难度中等．