Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）+f（y）=f（xy），且当x＞1时，f（x）＜0，若对任意的x，y∈（0，+∞），不等式f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先根据条件证明函数f（x）在（0，+∞）上单调性，然后化简不等式，根据

x2+y2

≥

2xy

恒成立建立关系式即可．

解答：解：设x₁＞x₂＞0，则

x1

x2

＞1
∵f（x）+f（y）=f（xy），
∴f（x）-f（y）=f（

x

y

），
f（x₁）-f（x₂）=f（

x1

x2

）＜0（x＞1时，f（x）＜0）
∴函数f（x）在（0，+∞）上单调递减函数
∵f(

x2+y2

)≤f(

xy

)+f(a)
∴f（

x2+y2

）≤f（a

xy

）
即

x2+y2

≥a

xy

x2+y2

≥

2xy

≥a

xy

∴a ≤

2

，又a＞0．
故答案为：(0，

2

]

点评：本题主要考查抽象函数的单调性以及不等式的应用，属于中档题，单调性是函数的“局部”性质．