Question

18．设函数f（x）=x-$\frac{1}{x}$，对任意x∈[1，+∞），f（ax）+af（x）＜0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-1）
• B． （-1，0）
• C． （-1，1）
• D． （0，1）

Answer 1

分析 根据题意和分离变量法化简f（ax）+af（x）＜0，分a＞0、a=0和a＜0三种情况进行讨论，根据二次函数的性质和恒成立即可得出答案．

解答 解：由f（ax）+af（x）＜0得，ax-$\frac{1}{ax}$+ax-$\frac{a}{x}$＜0对任意x∈[1，+∞）恒成立，
所以化简得：2ax＜（$\frac{1}{a}+a$）$\frac{1}{x}$对任意x∈[1，+∞）恒成立，
即2ax²＜$\frac{1}{a}+a$对任意x∈[1，+∞）恒成立，
①当a＞0时，2x²＜$\frac{1}{{a}^{2}}+1$，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上无最大值，此时不合题意；
②当a＜0时，2x²＞$\frac{1}{{a}^{2}}+1$，因为y=2x²在x∈[1，+∞）上的最小值为2，
所以2＞$\frac{1}{{a}^{2}}+1$，则a²＞1，解得a＜-1或a＞1（舍去）；
③当a=0时，ax=0，与f（x）定义域矛盾，不合题意；
综合可得：a＜-1．
故选：A．

点评 本题考查恒成立问题的转化，分类讨论思想和分离变量法，解决恒成立问题通常转化为求函数最值，属于中档题．