.设函数f(x)=-a+x+a,x∈(0,1],a∈R*.
(1)若f(x)在(0,1]上是增函数,求a的取值范围;
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值.
(1)由f(x)在(0,1]上为增函数,知f′(x)≥0在(0,1]上恒成立,即a≤在(0,1]上恒成立,故a只需小于或等于在(0,1]上的最小值.
(2)求f(x)在(0,1]上的最大值时由(1)的结论可对a分类讨论,分0<a≤及a>两种情况,当0<a≤时,由(1)知f(x)在(0,1]上为增函数,可求最大值,当a>时,可由导数求f(x)在(0,1]上的极大值点.
[解析] (1)f′(x)=-a·+1.
因为f(x)在(0,1]上是增函数,
所以f′(x)=-+1≥0在(0,1]上恒成立,
即a≤=在(0,1]上恒成立,
而在(0,1]上的最小值为,
又因为a∈R*,所以0<a≤.
(2)由(1)知:①当0<a≤时,f(x)在(0,1]上是增函数,所以f(x)max=f(1)=(1-)a+1;
②当a>时,令f′(x)=0,得x=∈(0,1],
因为当0<x<时,f′(x)>0,
当<x≤1时,f′(x)<0,
所以f(x)在点x=处取得极大值,
即为f=+a
=+a=a-,
故f(x)max=a-.
综上,当0<a≤时,f(x)max=(1-)a+1;
当a>时,f(x)max=a-.
[点评] ①已知f(x)在[a,b]上单调递增(或单调递减)可推得x∈[a,b]时,f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立,求单调区间时,令f′(x)>0(或f′(x)<0).②求f(x)的最大值时,要比较端点处函数值与极值的大小.当f′(x)的符号不确定时,可对待定系数进行分类讨论.
【解析】略
科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f(x)=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1及x=2时取得极值.
(1)求a、b的值;
(2)若对任意的x∈[0,3],都有f(x)<c2成立,求c的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
设函数f(x)=x-lnx(x>0),则y=f(x) ( )
A.在区间(,1),(1,e)内均有零点
B.在区间(,1),(1,e)内均无零点
C.在区间(,1)内有零点,在区间(1,e)内无零点
D.在区间(,1)内无零点,在区间(1,e)内有零点
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科目:高中数学 来源:2014届湖北武汉部分重点中学高二下学期期中考试理数学试卷(解析版) 题型:解答题
已知实数a满足1<a≤2,设函数f (x)=x3-x2+a x.
(Ⅰ) 当a=2时,求f (x)的极小值;
(Ⅱ) 若函数g(x)=4x3+3bx2-6(b+2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同,
求证:g(x)的极大值小于或等于10.
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年黑龙江省高三第三次月考数学文卷 题型:解答题
设函数f(x)=-6x+5,XR
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值
(2) 若关于x的方程f(x)=a有三个不同实根,求实数a的范围.
(3) 已知当x(1,+∞)时,f(x)≥K(x-1)恒成立,求实数K的取值范围。
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