Question

9．如图所示，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC=AB，CO交⊙O于点P，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E．
（1）求证：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$；
（2）若⊙O的直径AB=1，求tan∠CPE的值．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理，可得∠PAC=∠F，进而可得△APC∽△FAC，结合AC=AB，和相似三角形对应边成比例，可证得：$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．
（2）若⊙O的直径AB=1，由切割线定理可得PC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，进而根据FA∥BE，即∠CPE=∠F，解Rt△FAP可得答案．

解答 证明：（1）∵AC切⊙O于点A，PA是弦，
∴∠PAC=∠F，
∵∠C=∠C，
∴△APC∽△FAC，
∴$\frac{AP}{FA}=\frac{PC}{AC}$，
∵AC=AB，
∴$\frac{AP}{PC}$=$\frac{FA}{AB}$．
解：（2）∵AC切⊙O于点A，CPF为⊙O的割线，
则有AC²=CP•CF=CP（CP+PF），
∵PF=AC=AB=1，
∴PC=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∵FA∥BE，
∴∠CPE=∠F，
∵FP为⊙O的直径，
∴∠FAP=90°，
由（1）中证得$\frac{AP}{FA}=\frac{PC}{AC}$，
在Rt△FAP中，tan∠F=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴tan∠CPE=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查的知识点弦切角定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切割线定理，难度中档．