Question

如图所示,R(0,-3),PM交y轴于点Q,且·=0, =.

(1)当点P在x轴上移动时,求动点M的轨迹C;

(2)若倾斜角为的直线L₀与曲线C相切,求切线L₀的方程;

(3)设过点G(0,-1)的直线L与曲线C交于A、B两点,点D(0,1)满足∠ADB为钝角,求直线L斜率的取值范围.

Answer 1

解:(1)设M(x,y),P(x₁,0),Q(0,y₂),

则=(-x₁,-3), =(x-x₁,y),=(-x₁,y₂), =(x,y-y₂).

∵·=0, =,

∴

化简得x²=4y(x≠0),

即动点M的轨迹C是顶点在原点,开口向上的抛物线除去顶点后的部分.

(2)设L₀与C切于点(x₀,y₀),

∴y′=x.

∴L₀的斜率k₀=x₀=1.

∴x₀=2,y₀=1,即切点为(2,1).

故L₀的方程为y=x-1.

(3)设L的斜率为k,其方程为y=kx-1,

代入抛物线方程,得x²-4kx+4=0,

则Δ=16k²-16＞0,即k²＞1.

设A(x₃,y₃),B(x₄,y₄),则x₃+x₄=4k,x₃x₄=4.

∵∠ADB是钝角且A、B、D三点不共线,

∴·＜0.又=(x₃,y₃-1), =(x₄,y₄-1),

∴x₃x₄+(y₃-1)(y₄-1)=x₃x₄+(kx₃-2)(kx₄-2)＜0.

∴k²＞2.∴k＞或k＜-.

∴直线L的斜率范围为(-∞,- )∪(,+∞).