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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<
π
2
)的图象如图所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)将函数y=f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)的对称轴方程;
(3)当x∈[0,
π
2
]
时,方程f(x)=2a-3有两个不等的实根x1,x2,求实数a的取值范围,并求此时x1+x2的值.
分析:(1)由图知,A=2,由T=π,可求得ω,由2sin(2×
π
6
+φ)=2可求得φ;
(2)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可求得g(x)=2sin(
x
2
-
π
6
),由正弦函数的性质即可求得g(x)的对称轴方程;
(3)由x∈[0,
π
2
]⇒2x+
π
6
∈[
π
6
6
],方程f(x)=2a-3有两个不等实根时,y=f(x)的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点,从而可求得a的取值范围;
(法一)当x∈[0,
π
2
],时,利用f(x1)=f(x2),即可求得x1+x2的值;
(法二)令2x+
π
6
=
π
2
+kπ,可求得x=
2
+
π
6
,(k∈Z),利用f(x)的对称轴方程为x=
2
+
π
6
即可求得x1+x2的值.
解答:解:(1)由图知,A=2.--------(1分)
T=π,ω=
T
=
π
=2-----(2分)
由2sin(2×
π
6
+φ)=2,即sin(
π
3
+φ)=1,故
π
3
+φ=
π
2
+2kπ,k∈Z,
所以φ=
π
6
+2kπ,k∈Z,
又φ∈(0,
π
2
),所以φ=
π
6
---(3分)
故f(x)=2sin(2x+
π
6
)-------(4分)
(2)将f(x)的图象向右平移
π
6
个单位后,得到f(x-
π
6
)的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,
纵坐标不变,得到f(
x
4
-
π
6
)的图象,
所以g(x)=f(
x
4
-
π
6
)=2sin[2(
x
4
-
π
6
)+
π
6
)]=2sin(
x
2
-
π
6
)-------(6分)
x
2
-
π
6
=
π
2
+kπ,--------(7分)
则x=
3
+2kπ(k∈Z),所以g(x)的对称轴方程为x=
3
+2kπ(k∈Z),..-(8分)
(3)∵x∈[0,
π
2
],
∴2x+
π
6
∈[
π
6
6
]--------(9分)
∴当方程f(x)=2a-3有两个不等实根时,y=f(x)的图象与直线y=2a-3有两个不同的交点
∴1≤2a-3<2--------(11分)
∴2≤a<
5
2
--------(12分)
(法一)当x∈[0,
π
2
],时,f(x1)=f(x2),
所以(2x1+
π
6
)+(2x2+
π
6
)=π,
所以x1+x2=
π
3

(法二)令2x+
π
6
=
π
2
+kπ,则x=
2
+
π
6
,(k∈Z)
所以f(x)的对称轴方程为x=
2
+
π
6
,(k∈Z)
又∵x∈[0,
π
2
],
x1+x2
2
=
π
6
,所以x1+x2=
π
3
;--(14分)
点评:本题考查:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换及三角函数性质的综合应用,属于难题.
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已知函数f(x)=
a-x2
x
+lnx  (a∈R , x∈[
1
2
 , 2])

(1)当a∈[-2,
1
4
)
时,求f(x)的最大值;
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