Question

已知函数f（x）=a•2^x+b•3^x，其中常数a，b满足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判断函数f（x）的单调性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）时的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分a＞0，b＞0和a＜0，b＜0两种情况讨论，运用单调性的定义可作出判断；
（2）当a=-3b时，f（x）=-3b•2^x+b•3^x=b（3^x-3•2^x），分b＞0，b＜0两种情况进行讨论，整理可得指数不等式解出即可；

解答：解：（1）当a＞0，b＞0时，
任意x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=a（2x1-2x2）+b（3x1-3x2），
∵2x1＜2x2，3x1＜3x2，a＞0，b＞0，
∴a（2x1-2x2）＜0，b（3x1-3x2）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故函数f（x）在R上是增函数；
当a＜0，b＜0时，同理，可判断函数f（x）在R上是减函数；
（2）当a=-3b时，f（x）=-3b•2^x+b•3^x=b（3^x-3•2^x），
则f（x+1）＞f（x）即化为b（3^x+1-3•2^x+1）＞b（3^x-3•2^x），
若b＞0，则有3^x+1-3•2^x+1＞3^x-3•2^x，整理得(

3

2

)x＞

3

2

，解得x＞1；
若b＜0，则有3^x+1-3•2^x+1＜3^x-3•2^x，整理得(

3

2

)x＜

3

2

，解得x＜1；
故b＞0时，x的范围是x＞1；当b＜0时，x的范围是x＜1．

点评：本题考查函数单调性的判断、指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想，属基础题．