Question

已知函数f（x）=

a-x2

x

+lnx  (a∈R ， x∈[

1

2

 ， 2])
（1）当a∈[-2，

1

4

)时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）-lnx]•x²，k是g（x）图象上不同两点的连线的斜率，否存在实数a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由f'（x）≥0，f（x）单调递增，f'（x）＜0，f（x）单调递减求得f（x）_max=f（x₂）
（2）由g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则由斜率公式得k=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)+( x 3 2 - x 3 1 )

x1-x2

=a-(

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

)由k≤1知：建立a＜1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）恒成立，从而求解．

解答：解：（1）当-2≤a＜

1

4

时，由f'（x）=0得x₁=

1- 1-4a

2

，x2=

1+ 1-4a

2

．（2分）
显然-1≤x₁＜

1

2

，

1

2

＜x₂≤2，∴x1∉[

1

2

，2]，x2∈[

1

2

，2]．
又f'（x）=-

(x-x1)(x-x2)

x2

当

1

2

≤x≤x₂时，f'（x）≥0，f（x）单调递增；
当x₂＜x≤2时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，（5分）
∴f（x）_max=f（x₂）=

2a

1+ 1-4a

-

1+ 1-4a

2

+ln

1+ 1-4a

2

=-

1-4a

+ln

1+ 1-4a

2

．（6分）
（2）存在a∈(-∞，

7

4

]符合条件
因为g（x）=[f（x）-lnx]•x²=ax-x³
不妨设任意不同两点p₁（x₁，y₁），p₂（x₂，y₂），其中x₁＜x₂
则k=

y1-y2

x1-x2

=

a(x1-x2)+( x 3 2 - x 3 1 )

x1-x2

=a-(

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

)（10分）
由k≤1知：a≤1+（x₁²+x₁x₂+x₂²）
又

1

4

≤

x

2 2

≤4故a≤

7

4

故存在a≤

7

4

符合条件．（12分）

点评：本题主要考查导数，一是用导数法求函数的最值，二是建立模型考查不等式恒成立，要注意讨论．