Question

已知函数f（x）=a-2^|x|+1（a≠0），定义函数F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

 给出下列命题：①F（x）=|f（x）|； ②函数F（x）是奇函数；③当a＜0时，若mn＜0，m+n＞0，总有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：根据已知求出F（x）与|f（x）|的解析式，进而根据函数相等的定义可判断①；判断出函数F（x）的奇偶性，可判断②；若mn＜0，m+n＞0，可得m，n异号且正数的绝对值较大，代入F（m）+F（n）判断符号，可判断③

解答：解：∵F（x）=

f(x)   ，  x＞0 -f(x) ，    x＜0

=

a-2x+1，x＞0 -a+2-x-1，x＜0

|f（x）|=|a-2^|x|+1|
两个函数的解析式不同，故①错误；
∵函数F（x）的定义域{x|x≠0}关于原点对称
且F（-x）=

-a+2x-1，x＞0 a-2x+1，x＜0

=-F（x）
故函数F（x）是奇函数，故②正确；
∵mn＜0，m+n＞0，
故m，n异号，
若m＞0，则n＜0，且|m|＞|n|
则F（m）+F（n）=a-2^m+1-a+2ⁿ-1=2ⁿ-2^m＜0
同理可证m＜0时，F（m）+F（n）＜0成立
故③正确
故正确的命题有：②③
故答案为：②③

点评：本题以命题的真假判断为载体考查了函数相等，函数的奇偶性，利用函数单调性解不等式等问题，是函数图象和性质的综合应用，难度较大．