Question

椭圆（a＞b＞0）与直线x+y=1交于P、Q两点，且OP⊥OQ，其中O为坐标原点．
（1）求的值；
（2）若椭圆的离心率e满足≤e≤，求椭圆长轴的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0结合y₁=1-x₁，y₂=1-x₂可得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0，将y=1-x代入可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0则，代入整理可求
（2））由 及，   可求a得范围
解答：解：设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）由OP⊥OQ 可得 x ₁x ₂+y₁ y ₂=0（2分）
∵y₁=1-x₁，y₂=1-x₂
∴2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0①又将y=1-x代入可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0
∵△＞0∴，（4分）
代入①化简得 ．（6分）
（2）∵
∴
∴（8分）
又由（1）知   （9分）
∴∴，（11分）
∴长轴 2a∈[]．（12分）
点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的应用，方程的思想的应用圆锥曲线的性质的应用，属于性质的应用，要求具备一定的综合应用知识的能力．